IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Теоретические вопросы

1. Векторы. Линейные, операции над векторами.

2. Скалярное произведение, его характеристики. Длина вектора. Угол меж 2-мя векторами.

3. Определители, их характеристики.

4. Векторное произведение. Характеристики. Геометрический смысл.

5. Смешанное произведение, его характеристики. Геометрический смысл. Нужное и достаточное условие компланарности 3-х векторов.

6. Плоскость: Уравнение плоскости.

7. Расстояние от точки до плоскости.

8. Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ скрещения прямой и плоскости.

Теоретические упражнения

1. Пусть векторы и не коллинеарны и , , , . Отыскать и и обосновать коллинеарность векторов и .

2. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам , , .

3. Отыскать угол меж единичными векторами и , если понятно, что векторы и взаимно перпендикулярны.

4. Обосновать компланарность векторов , и зная, что

5. Обосновать, что уравнение плоскости; проходящей через IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ точки и перпендикулярно плоскости , можно записать в виде

6. Обосновать, что уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые

и

можно записать в виде

7. Обосновать, что уравнения прямой, проходящей через точку параллельно плоскостям и можно записать в виде

8. Обосновать, что нужным и достаточным условием принадлежности 2-ух прямых

и

одной плоскости является выполнение равенства

9. Обосновать, что расстояние от точки до IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , определяется формулой .

10. Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки и . Их направляющие векторы и известны. Обосновать, что расстояние меж ними определяется формулой

Расчетные задания

Задачка 1. Написать разложение вектора по векторам .

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

1.31.

Задачка 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

2.31.

Задачка 3. Отыскать IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ косинус угла меж векторами и .

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

3.31.

Задачка 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

4.31.

Задачка 5. Компланарны ли векторы , и ?

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

5.29.

5.30.

5.31.

Задачка 6. Вычислить объем тетраэдра с верхушками в точках и его высоту, опущенную из верхушки на грань .

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29.

6.30.

6.31.

Задачка 7. Отыскать расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

7.11.

7.12.

7.13.

7.14.

7.15.

7.16.

7.17.

7.18.

7.19.

7.20.

7.21.

7.22.

7.23.

7.24.

7.25.

7.26.

7.27.

7.28.

7.29.

7.30.

7.31.

Задачка 8. Написать уравнение плоскости, проходящей IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ через точку перпендикулярно вектору .

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27.

8.28.

8.29.

8.30.

8.31.

Задачка 9. Отыскать угол меж плоскостями.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21.

9.22.

9.23.

9.24.

9.25.

9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

9.30.

9.31.

Задачка 10. Отыскать координаты точки , равноудаленной от точек и .

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27.

10.28.

10.29.

10.30.

10.31.

Задачка 11. Пусть – коэффициент преобразования подобия с центром сначала координат. Правильно ли, что точка принадлежит виду плоскости ?

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

11.31.

Задачка 12. Написать канонические уравнения прямой.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16.

12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

12.31.

Задачка 13. Отыскать точку скрещения прямой и плоскости.

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

13.10.

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15.

13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21.

13.22.

13.23.

13.24.

13.25.

13.26.

13.27.

13.28.

13.29.

13.30.

13.31.

Задачка 14. Отыскать точку , симметричную IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ точке относительно прямой (для вариантов 1 – 15) либо плоскости (для вариантов 16 – 31).

14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

14.11.

14.12.

14.13.

14.14.

14.15.

14.16.

14.17.

14.18.

14.19.

14.20.

14.21.

14.22.

14.23.

14.24.

14.25.

14.26.

14.27.

14.28.

14.29.

14.30.

14.31.

X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Теоретические вопросы

1. Линейное место. Базис. Координаты.

2. Преобразование координат вектора при переходе к новенькому базису.

3. Линейный оператор. Матрица оператора.

4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новенькому базису.

5. Деяния над линейными операторами.

6. Собственные векторы и собственные значения.

7. Евклидово место. Неравенство IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Коши-Буняковского.

8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9. Ортогональное преобразование; характеристики; матрица.

10. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования.


ivan-pavlov.html
ivan-pozdeev-vstretilsya-s-obshestvennimi-predstavitelyami-upolnomochennogo-po-pravam-cheloveka.html
ivan-semenovich-popov-l-v-kulikov-istoriya-i-metodologiya-zootehnicheskoj-nauki-moskva-2000-rossijskij-universitet.html